(1/2)^k+(1-1/k)^k<=1/2,其中k是大于等于1的整数
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/02 17:58:18
(1/2)^k+(1-1/k)^k<=1/2,其中k是大于等于1的整数
不等式证明,^是指数阿
是对任意的k证明这个不等式成立
不等式证明,^是指数阿
是对任意的k证明这个不等式成立
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证明:(一)证当k为≥1的正整数时,(k-1)^k≤1/2[k^k-k^(k-1)]
把(k-1)^k按二项式定理展开,有
(k-1)^k=k^k-C(k,1)*k^(k-1)+C(k,2)*k^(k-2)-C(k,3)*k^(k-3)+...+C(k,i)*(-1)^i*k^(k-i)+...+(-1)^k
=C(k,2)*k^(k-2)-C(k,3)*k^(k-3)+...+C(k,i)*(-1)^i*k^(k-i)+...+(-1)^k
=C(k,2)*k^(k-2)-[C(k,3)*k^(k-3)-C(k,4)*k^(k-4)]-...-[C(k,i)*k^(k-i)-C(k,i+1)*k^(k-i-1)]-...
注意展开式的各项是正负交替的,如果k为偶数,则最后一项为-[C(k,k-1)*k-1],如果k为奇数,则最后一项单独是-1。
当k≥1,0≤i≤k-1时
因为[C(k,i)*k^(k-i)]/[C(k,i+1)*k^(k- i -1)]=k*(i+1)/(k-i)≥1
所以C(k,i)*k^(k-i)-C(k,i+1)*k^(k- i -1)≥0
于是(k-1)^k≤C(k,2)*k^(k-2)=1/2[k^k-k^(k-1)]
(二)、当k为≥1的正整数时,显然有2^k≥2*k,于是1/2^k≤1/(2*k)
(三)、(1/2)^k+(1-1/k)^k=1/2^k+(k-1)^k/(k^k)
≤1/(2*k)+{1/2[k^k-k^(k-1)]}/(k^k)=1/(2*k)+1/2-1/(2*k)=1/2
证毕。
用数学归纳法
关于数列1^k+2^k+3^k+.....+n^k
1^k+2^k+3^k+...+n^k=?
1^k+2^k+3^k+4^k+5^k.....+n^k数列和公式的推导
求数列1^k+2^k+3^k+...+n^k的和
a=k^2+(k+1)^2+.......+(2K)^2,b=(k-1)^2+k^2+(k+1)^2+........+(2k-1)^2
K为何值时,分式方程K/(X-2)=k+1/(x-2)无解
当k为何值时,方程2/3X-3k=5(x-k)+1
已知关于x的不等式(x+2)/k>1+(x-3)/ k^2 (k属于R ,k≠0)
1.如果角a满足条件sina=k-3/k+5,cosa=4-2k/k+5,则a是第几象限角?
解此不等式[(15k^2-13)/(3k^2-1)>0